백트래킹 문제(1062, 14888)

백트래킹은 모든 경우의 수를 따져야 할 때 유용한 기법이다.

해를 찾는 과정에서 가능하지 않는 경로는 미리 포기해 불필요한 연산을 줄여주어

경우의 수가 많아도 가능한 해만을 탐색해 효율적으로 문제를 풀 수 있다.

 

백트래킹이 자주 쓰이는 대표적인 상황은

순서 조합 및 순열 문제, 특정 조건을 만족하는 부분 집합을 구할 때, 그래프 탐색, 최적 해 구하기, 퍼즐 문제 등이 있다.

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가르침 1062

문제

남극에 사는 김지민 선생님은 학생들이 되도록이면 많은 단어를 읽을 수 있도록 하려고 한다. 그러나 지구온난화로 인해 얼음이 녹아서 곧 학교가 무너지기 때문에, 김지민은 K개의 글자를 가르칠 시간 밖에 없다. 김지민이 가르치고 난 후에는, 학생들은 그 K개의 글자로만 이루어진 단어만을 읽을 수 있다. 김지민은 어떤 K개의 글자를 가르쳐야 학생들이 읽을 수 있는 단어의 개수가 최대가 되는지 고민에 빠졌다.

남극언어의 모든 단어는 "anta"로 시작되고, "tica"로 끝난다. 남극언어에 단어는 N개 밖에 없다고 가정한다. 학생들이 읽을 수 있는 단어의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 단어의 개수 N과 K가 주어진다. N은 50보다 작거나 같은 자연수이고, K는 26보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다. 둘째 줄부터 N개의 줄에 남극 언어의 단어가 주어진다. 단어는 영어 소문자로만 이루어져 있고, 길이가 8보다 크거나 같고, 15보다 작거나 같다. 모든 단어는 중복되지 않는다.

출력

첫째 줄에 김지민이 K개의 글자를 가르칠 때, 학생들이 읽을 수 있는 단어 개수의 최댓값을 출력한다.

문제 풀이

백트래킹을 통해 가능한 모든 알파벳 조합을 탐색한 후 최대로 읽을 수 있는 단어의 개수를 반환한다.

#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
#include <algorithm>

using namespace std;

int countWords();
int maxReadWords(int idx, int cnt);

int n, k;
vector <string> words;
int learnedWords[26] = {};
int main() {
	cin >> n >> k;

	if (k < 5) {
		cout << 0;
		return 0;
	}

	for (int i = 0; i < n; i++) {
		string word;
		cin >> word;
		words.push_back(word.substr(4, word.length() - 8));
	}

	learnedWords['a' - 'a'] = 1;
	learnedWords['n' - 'a'] = 1;
	learnedWords['t' - 'a'] = 1;
	learnedWords['i' - 'a'] = 1;
	learnedWords['c' - 'a'] = 1;

	//5개를 이미 배웠으므로 5부터 시작
	cout << maxReadWords(0, 5);
	return 0;
}

//배운 알파벳만 있는 단어인지 확인후 개수 return
int countWords() 
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		bool valid = true;
		for (char c : words[i]) {
			if (!learnedWords[c - 'a']) {
				valid = false;
				break;
			}
		}
		if (valid) count++;
	}
	return count;
}

//알파벳 배우는 경우를 계산하는 백트래킹 함수
int maxReadWords(int idx, int cnt)
{
	//현재 배운 알파벳 수가 k와 같아지면 단어 수 계산
	if (cnt == k) {
		return countWords();
	}

	int maxCount = 0;
	for (int i = idx; i < 26; i++) {
		if (!learnedWords[i]) {
			learnedWords[i] = 1;
			maxCount = max(maxCount, maxReadWords(i + 1, cnt + 1));
			learnedWords[i] = 0;
		}
	}

	return maxCount;
}

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연산자 끼워넣기 14888

문제

N개의 수로 이루어진 수열 A1, A2, ..., AN이 주어진다. 또, 수와 수 사이에 끼워넣을 수 있는 N-1개의 연산자가 주어진다. 연산자는 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)으로만 이루어져 있다.

우리는 수와 수 사이에 연산자를 하나씩 넣어서, 수식을 하나 만들 수 있다. 이때, 주어진 수의 순서를 바꾸면 안 된다.

예를 들어, 6개의 수로 이루어진 수열이 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 주어진 연산자가 덧셈(+) 2개, 뺄셈(-) 1개, 곱셈(×) 1개, 나눗셈(÷) 1개인 경우에는 총 60가지의 식을 만들 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 식을 만들 수 있다.

• 1+2+3-4×5÷6
• 1÷2+3+4-5×6
• 1+2÷3×4-5+6
• 1÷2×3-4+5+6

식의 계산은 연산자 우선 순위를 무시하고 앞에서부터 진행해야 한다. 또, 나눗셈은 정수 나눗셈으로 몫만 취한다. 음수를 양수로 나눌 때는 C++14의 기준을 따른다. 즉, 양수로 바꾼 뒤 몫을 취하고, 그 몫을 음수로 바꾼 것과 같다. 이에 따라서, 위의 식 4개의 결과를 계산해보면 아래와 같다.

• 1+2+3-4×5÷6 = 1
• 1÷2+3+4-5×6 = 12
• 1+2÷3×4-5+6 = 5
• 1÷2×3-4+5+6 = 7

N개의 수와 N-1개의 연산자가 주어졌을 때, 만들 수 있는 식의 결과가 최대인 것과 최소인 것을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수의 개수 N(2 ≤ N ≤ 11)가 주어진다. 둘째 줄에는 A1, A2, ..., AN이 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 100) 셋째 줄에는 합이 N-1인 4개의 정수가 주어지는데, 차례대로 덧셈(+)의 개수, 뺄셈(-)의 개수, 곱셈(×)의 개수, 나눗셈(÷)의 개수이다.

출력

첫째 줄에 만들 수 있는 식의 결과의 최댓값을, 둘째 줄에는 최솟값을 출력한다. 연산자를 어떻게 끼워넣어도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같은 결과가 나오는 입력만 주어진다. 또한, 앞에서부터 계산했을 때, 중간에 계산되는 식의 결과도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같다.

문제풀이

모든 연산자 배치를 백트래킹으로 탐색 후 계산을 순차적으로 한다.

연산을 완료할 때마다 최댓값과 최솟값을 갱신한다.

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;
int minNum = 1000000001, maxNum = -1000000001;
vector<int> numbers;
int symbols[4];

int calc(int a, int b, int type) {
	switch (type) {
	case 0: return a + b;
	case 1: return a - b;
	case 2: return a * b;
	case 3: return a / b;
	}
	return 0;
}

void bt(int n, int idx, int currentResult) {
	if (idx == n - 1) {  // 모든 연산자 다 사용
		if(maxNum < currentResult) maxNum = currentResult;
		if (minNum > currentResult) minNum = currentResult;
		return;
	}

	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		if (symbols[i] > 0) { 
			symbols[i]--;  // 연산자 사용
			int nextResult = calc(currentResult, numbers[idx + 1], i);  // 연산 수행
			bt(n, idx + 1, nextResult);  // 다음 연산으로 이동
			symbols[i]++;  // 연산자 복구
		}
	}
}

int main() {
	int n;
	cin >> n;

	for (int i = 0; i < n; i++) {
		int temp;
		cin >> temp;
		numbers.push_back(temp);
	}

	cin >> symbols[0] >> symbols[1] >> symbols[2] >> symbols[3];

	dfs(n, 0, numbers[0]);

	cout << maxNum << "\n" << minNum;

	return 0;
}

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백트래킹은 주로 재귀적으로 호출되어, 하나의 선택을 하고 다음 선택을 탐색하는 방식으로 구현된다.